Interpolación Tropical

Interpolación Tropical

Todo el mundo sabe que dos puntos determinan una recta, y muchas personas que han estudiado geometría saben que cinco puntos del plano determinan una cónica. En general, si se tienen m puntos aleatorios en el plano y se quiere hacer pasar una curva racional de grado d por todos ellos, puede que no haya solución a este problema de interpolación (si m es demasiado grande), o un número infinito de soluciones (si m es demasiado pequeño), o un número finito de soluciones (si m es justo). Resulta que «m justo» significa m=3d-1 (m=2 para las líneas y m=5 para las cónicas).

Una pregunta más difícil es, si m=3d-1, ¿cuántas curvas racionales de grado d interpolan los puntos? Llamemos a este número N d , de modo que N 1 = 1 y N 2 = 1 porque la recta y la cónica del párrafo anterior son únicas. Hace tiempo que se sabe que N 3 = 12, y en 1873 Zeuthen [Ze] demostró que N 4 = 620. Ahí se quedó la cosa hasta hace unos diez años, cuando Kontsevich y Manin [KM] utilizaron la asociatividad en cohomología cuántica para dar una elegante recursión para este número.

Los temas de investigación del semestre de invierno de 2004 del MSRI sobre Aspectos Topológicos de la Geometría Algebraica Real incluyeron la geometría algebraica real enumerativa, la geometría tropical, las curvas planas reales y las aplicaciones de la geometría algebraica real. Todos ellos se entrelazan en el desarrollo de este problema de interpolación, un problema prototípico de la geometría enumerativa, que es el arte de contar figuras geométricas determinadas por unas condiciones de incidencia dadas. He aquí otro problema: ¿cuántas líneas del espacio se encuentran con cuatro líneas dadas? Para responder a este problema, hay que tener en cuenta que tres líneas se encuentran en un único hiperboloide doblemente reglado.

4 lines

Las tres líneas se encuentran en una regla, y la segunda regla consiste en las líneas que se encuentran con las tres líneas dadas. Como el hiperboloide está definido por una ecuación cuadrática, una cuarta recta se encontrará con él en dos puntos. A través de cada uno de estos dos puntos hay una línea en la segunda regla, y éstas son las dos líneas que se encuentran con nuestras cuatro líneas dadas.
La geometría enumerativa funciona mejor sobre los números complejos, ya que el número de figuras reales depende bastante sutilmente de la configuración de las figuras que dan las condiciones de incidencia. Por ejemplo, la cuarta recta puede encontrarse con el hiperboloide en dos puntos reales, o en dos puntos complejos conjugados, por lo que hay dos o ninguna recta real que se encuentre con las cuatro. Basándonos en muchos ejemplos, hemos llegado a esperar que cualquier problema enumerativo puede tener todas sus soluciones reales [Así].

Otro problema de este tipo es el de las 12 curvas racionales que interpolan 8 puntos del plano. La mayoría de los matemáticos están familiarizados con la cúbica nodal (racional) que se muestra a la izquierda. Hay otro tipo de cúbica racional real, que se muestra a la derecha.

renodes conodes

En la segunda curva, dos ramas complejas conjugadas se encuentran en el punto aislado. Si dejamos que N(t) sea el número de curvas reales del tipo t que interpolan 8 puntos dados, entonces:

resub

Kharlamov y Degtyarev [DK] demostraron que
A continuación se describen sus métodos topológicos elementales.
Como hay a lo sumo 12 curvas de este tipo, cosub , por lo que hay 8, 10 ó 12 cúbicos racionales reales que interpolan 8 puntos reales en el plano, dependiendo del número (0, 1 ó 2) de cúbicos con un punto aislado. Así, habrá 12 cúbicos racionales reales interpolando 8 de los 9 puntos de intersección de los dos cúbicos de abajo.

9-int

Welschinger [W], que fue postdoc del MSRI el pasado invierno, desarrolló este ejemplo en una teoría. En general, las singularidades de una curva plana racional real C son nodos o puntos aislados. La paridad del número de nodos es su signo s(C), que es 1 o -1. Dados 3d-1 puntos reales en el plano, Welschinger consideró el valor absoluto de la cantidad.

Sigmas(C),

la suma sobre todas las curvas racionales reales C de grado d que interpolan los puntos. Demostró que esta suma ponderada no depende de la elección de los puntos. Se escribe Wd para esta invariante de Welschinger. Por ejemplo, acabamos de ver que W 3 = 8.

Esto fue un gran avance, ya que Wd fue (casi) el primer invariante verdaderamente no trivial en la geometría algebraica real enumerativa. Nótese que Wd es un límite inferior para el número de curvas racionales reales que pasan por 3d-1 puntos reales en el plano, y W d \ leq N d .

Mikhalkin, que fue uno de los organizadores del semestre, proporcionó la clave para calcular Wd utilizando la geometría algebraica tropical [Mi]. Se trata de la geometría del semirremolque tropical, donde las operaciones de max y + sobre los números reales sustituyen a las operaciones habituales de + y multiplicación. Un polinomio tropical es una función lineal a trozos de la forma

T(x,y)  =  max(i,j) {x i  +  y j  + ci,j} ,

donde el cálculo es con las operaciones aritméticas habituales y el máximo se toma sobre un subconjunto finito de Z2 de exponentes de T y ci,j son los coeficientes de números reales de T. Un polinomio tropical T define una curva tropical, que es el conjunto de puntos (x,y) donde T(x,y) no es diferenciable. A continuación se muestran algunas curvas tropicales.

tropical

El grado de una curva tropical es el número de rayos que tienden al infinito en cualquiera de las tres direcciones Oeste, Sur o Noreste. Una curva tropical es racional si es una inmersión a trozos de un árbol. Los nodos tienen valencia 4.

Mikhalkin demostró que sólo hay un número finito de curvas tropicales racionales de grado d que interpolan 3d-1 puntos genéricos. Mientras que el número de tales curvas depende de la elección de los puntos, Mikhalkin adjuntó multiplicidades positivas a cada curva tropical para que la suma ponderada no lo haga, y de hecho es igual a Nd. También redujo estas multiplicidades y la enumeración de las curvas tropicales a la combinatoria de caminos de celosía dentro de un triángulo de lado d.

Mkhalkin usó una correspondencia que involucra el mapa Log: ( C * ) 2 -> R 2 definido por ( x , y ) | -> (log | x |, log | y |) | -> (log | x |, log | y |), y un cierto ‘límite complejo grande’ de la estructura compleja en ( C * ) 2 . Bajo este gran límite complejo, las curvas racionales de grado d que interpolan 3 d -1 puntos en ( C * ) 2  se deforman en «curvas tropicales complejas», cuyas imágenes bajo Log son curvas tropicales ordinarias que interpolan las imágenes de los puntos. La multiplicidad de una curva tropicalT es el número de curvas complejas tropicales que se proyectan a T .

¿Y, qué sucede con las curvas reales? Siguiendo esta correspondencia, Mikhalkin adjuntó una multiplicidad real a cada curva tropical y demostró que si las curvas tropicales que interpolan un determinado punto 3d-1 tienen una multiplicidad real total N, entonces hay 3d-1 puntos reales que son interpolados por N curvas racionales reales de grado d. Esta multiplicidad real se expresa de nuevo en términos de trayectorias de la red.

¿Y qué sucede con la invariante de Welschinger? De la misma manera, Mikhalkin adjuntó un peso con signo a cada curva tropical (una versión tropical del signo de Welschinger) y demostró que la correspondiente suma ponderada es igual al invariante de Welschinger. Al igual que antes, este peso con signo tropical puede expresarse en términos de trayectorias de la red.

Durante el semestre en el MSRI, Itenberg, Kharlamov y Shustin [IKS] utilizaron los resultados de Mikhalkin para estimar el invariante de Welschinger. Demostraron que W d \ geq d ! / 3, y también

log W d  = log N d  +  O ( d ), log N d  = 3 d log d + O ( d ).

Así, al menos logarítmicamente, la mayoría de las curvas racionales de grado d que interpolan 3d-1 puntos reales en el plano son reales.

Hay otros dos casos de este fenómeno de límites inferiores, el primero de los cuales es anterior al trabajo de Welschinger. Supongamos que d es par y que W(s) es un polinomio real de grado k(d-k+1). Entonces Eremenko y Gabrielov [EG] demostraron que existen polinomios reales f1(s),…, fk(s)  de grado d cuyo determinante de Wronski es W(s). De hecho, demostraron una cota inferior al número de k-tuplas de polinomios, hasta una equivalencia. De forma similar, mientras estaban en el MSRI, Soprunova y yo [SS] estudiaron sistemas polinómicos dispersos asociados a conjuntos de posturas, demostrando que el número de soluciones reales está limitado por debajo del signo de desequilibrio del conjunto de posturas. Tales límites inferiores a los problemas enumerativos, que implican la existencia de soluciones reales, son importantes para las aplicaciones.

Por ejemplo, esta historia se contó mientras se tomaba una cerveza una noche en el taller del MSRI sobre Modelado Geométrico y Geometría Algebraica Real en abril de 2004. Un participante, Schicho, se dio cuenta de que el resultado W3=8 para los cúbicos explicaba por qué un método que había desarrollado parecía funcionar siempre. Se trataba de un algoritmo para calcular una parametrización aproximada de un arco de una curva, a través de un cúbico racional real interpolando 8 puntos del arco. Quedaba por encontrar las condiciones que garantizaran la existencia de una solución cercana al arco. Esto acaba de ser resuelto por Fiedler-Le Touzé, un postdoc del MSRI que había estudiado cúbicas (no necesariamente racionales) interpolando 8 puntos para ayudar a clasificar curvas planas reales de grado 9.

Fuente: https://www.math.tamu.edu/~sottile/research/stories/MSRI04/index.html

Traducido por: https://juegosiesta.com/

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